习题 16, § 6

令$X, X'$为两个可度量的空间。 映射 $f : X \to X'$ 被称为 Borel 映射，如果对于 $X'$ 的每个闭合子集 $F'$，$\overline{f^{-1}(F')}$ 是 $X$ 中的 Borel 集合。对于每个偶数（或奇数）可数序数 $\alpha$、$f$ 被认为是 of 类 $\alpha$ 如果对于 $X'$、$\overline{f^{-1}(F')}$ 属于到 $\mathfrak{F}_\alpha(X)$ 的每个闭子集 $F'$ [分别。 $\mathfrak{G}_\alpha(X)$]（习题4）；然后，对于 $X'$、$\overline{f^{-1}(G')}$ 属于到 $\mathfrak{G}_\alpha(X)$ 中的每个开集合 $G'$ [分别。 $\mathfrak{F}_\alpha(X)$]。 类 0 的 Borel 映射正是连续的映射。

a) $X$的子集$A$的特征函数$\varphi_A$是类$\alpha$当且仅当$A \in \mathfrak{F}_\alpha \cap \mathfrak{G}_\alpha$。

b) 设$f : X \to X'$为类$\alpha$中的映射。证明对于每个子集 $B' \in \mathfrak{F}_\beta(X')$ [resp. $B' \in \mathfrak{G}_\beta(X')$]、$\overline{f^{-1}(B')}$ 属于至 $\mathfrak{F}_{\alpha+\beta}(X)$ [分别。 $\mathfrak{G}_{\alpha+\beta}(X)$]。 （在$\beta$上使用超限归纳。）

c) 令$f : X \to X'$为类$\alpha$的映射，并令$g : X' \to X''$为类$\beta$的映射，其中$X''$是第三个可度量空间。证明 $g \circ f$ 是类 $\alpha + \beta$ 的 Borel 映射。

d) 对于每个偶数（或奇数）可数序数$\alpha$，令$(A_n)$为$X$的子集的序列，其中属于到$\mathfrak{G}_\alpha$（或$\mathfrak{F}_\alpha$）并覆盖$X$。如果映射$f : X \to X'$使得$f|A_n$对于每个$n$来说是类$\alpha$，那么$f$是类$\alpha$。给出$X$的子集的*有限*序列，其中属于到$\mathfrak{F}_\alpha$（分别为$\mathfrak{G}_\alpha$）并覆盖$X$。