习题 9, § 6

a) 令X为波兰语空间，令R为X上的等价关系。证明存在 X 中的子集，这是可数间

() \ 可以证明，在紧区间 $I \subset \mathbf{R}$ 上连续实值函数的空间 $C(I; \mathbf{R})$ 中，赋予拓扑一致收敛性（使其成为波兰空间），可微分函数的集合不是苏斯林集合但它的补充是 Souslin 集合 [cf. S. Mazurkiewicz，基金。数学。 27（1936），p. 244]。 \* 开集合的截面，并且恰好满足一个点中的每个等价类，前提是满足以下两个假设之一：

α) R 是闭合的； β) X 是局部紧致的，R 的图在 $X \times X$ 中是封闭的。

[对于α)，遵循no. 8的定理 4 的证明方法，利用以下注：如果$(G_n)$是集合的序列，则每一个都是可数开的交集合，如果对于每个$n$，存在$G_n$的邻域$V_n$，使得族$(V_n)$局部有限，则$\bigcup_n G_n$是开集合的可数交。与 β 相同方法)；观察到紧集的饱和现已关闭（cf. 章 I, § 10，习题 16）。]

b) 令X为波兰空间，令R为X上的等价关系，既开又闭，$\varphi : X \to X/R$为典范映射。证明存在X的子集 A，它是X中开集合的可数交，且$\varphi$的限制与A是A在$\varphi(A)$上的同胚，且$\varphi(A)$稠密于$X/R$ 是开集合的可数交。 [用记号的证明的定理 4 的 no. 8，表明我们可以假设对于每个 $n$，$\varphi_n(c)$ 的定义方式如下：像在并的 $\varphi$ 的内部$h_n(c)$，因为$c$贯穿$C_n$，在$X/R$是稠密的；使用 a) 和 no. 1 中的定理 1。]

c) 证明当 X 是局部紧致且具有可数基且 R 是 X 上的闭等价关系，其所有等价类都是紧致的时，b）的结论仍然有效。 [约化到情况 b)，通过使用§ 5、习题 26。]