习题 1, § 2

令$E$为线性有序集合，其中最小的元素$\omega$，并令$I$为$E$、包含$\omega$的区间，以$\omega$为其左端点。假设 $E$ 和 $I$ 满足公理 (GR_I)、(GR_{II})、(GR_{IV}) 以及以下公理：

(GR_{IIIb}) $I$中元素$x > \omega$的*集合不为空，并且如果$x$是$I$中的任意元素$> \omega$，则$I$中存在$y > \omega$使得$y^2 \leq x$.*

证明$\mathbf{R}$中存在$I$的递增映射$f$，使得每当$x, y$和$xy$在$I$时，$f(\omega) = 0$和$f(xy) = f(x) + f(y)$；另外，对于所有 $b \in I$，$f(I) \cap [0, f(b)]$ 在 $[0, f(b)]$ 中是稠密的。