习题 3, § 1

令$A$和$B$是$\mathbf{R}^2$的两个可数稠密子集。证明存在 $\mathbf{R}^2$ 自身同胚，映射 $A$ $B$。 （首先证明，通过旋转，我们可以将约化转化为投影、$pr_1$和$pr_2$是$A$和$B$的单射映射到$\mathbf{R}$。然后通过适当的归纳过程，定义， $A$的双射到$B$，其中确定将$pr_1 A$的单调映射到$pr_1 B$，以及$pr_2 A$的单调映射到$pr_2 B$，最后，利用习题。 11、章IV, § 2，证明这个映射是一个同胚，可以扩展到$\mathbf{R}^2$的同胚。）推出，如果$C$是$\mathbf{R}^2$的子集，其补集是稠密的，$C$是同态于$\mathbf{R}^2$中$\mathbf{Q}^2$补集的子集。将这些结果推广到 $\mathbf{R}^n, n > 2$。