习题 7, § 3

a) Show that, in 记号 of no. 5, 空间 $L_{n,p}$ is homeomorphic to 乘积 of $V_{n,p}$ and $\mathbf{R}^{p(p+1)/2}$. 注，每个矩阵$X \in L_{n,p}$都可以在形式$U . Y$中唯一表达，其中$y \in V_{n,p}$和$U = (u_{ij})$使得每当$i < j$时$u_{ij} = 0$，$1 \leqslant i \leqslant p$时$u_{ii} > 0$。输入$Y = f(X)$。

b) 在no. 5、命题 8 的记号中，证明$f$是$B_\sigma$到$f(B_\sigma)$的同胚[注，$X \to f(X^{-1}_\sigma X)$是$A_\sigma$到$f(B_\sigma)$的连续映射，并且 that $f(X^{-1}_\sigma X)$ 属于 to the same 类 as $X$ mod $\Delta_{n,p}$;然后应用引理2]。 推出$A_\sigma$和$V_{n,p}$的交$D_\sigma$同胚于$V_{p,p}$和$\mathbf{R}^{p(n-p)}$的乘积[每个矩阵属于到$D_\sigma$都可以唯一地表示为乘积 $V_{p,p}$ 的矩阵和$f(B_\sigma)$ 的矩阵]。