阶 n (n 整数 > o) 的 Farey 级数 是有理数数 p/q 的集合 Fn 在其最低项中，使得 0≤p≤q≤n 排列在递增阶（即 Farey 级数是 序列）。
a) 证明如果两个有理数数 r=p/q,r′=p′/q′ 满足p′q−pq′=±1，则整数 (p′′,q′′) 的每个对都可以用形式 p′′=px+p′y,q′′=qx+q′y 表示，其中x 和y 为整数。分数 p′′/q′′ 属于到端点为 r 和 r′ 的闭区间当且仅当 x 和 y 具有相同的符号。
b) 从a)推导出，如果r=p/q和r′=p′/q′是[0,1]中的两个有理数数，使得q>0、q′>0和qp′−pq′=±1，则r和r′在元素中是连续的序列Fn，其中n=max(q,q′)。此外，最小的整数m使得Fm的端点为r和r′包含点的开区间为m=q+q′，并且只有一个点该区间内的Fq+q′，即分数(p+p′)/(q+q′)。
c) 相反，如果r和r′是Fn的两个连续的元素，我们就有p′q−pq′=±1（使用归纳法在n上）。
d) 从 c) 中推出，对于每个实数 θ∈[0,1] 和每个整数 n≥1，在其最低的项中至少存在一个分数 p/q，使得 1≤q≤n 和 ∣θ−p/q∣≤1/(n+1)q (cf.) 习题10)。
e) 如果 p/q 是其最低项中的一个分数，使得 ∣θ−p/q∣<1/q2，则 θ 属于到开区间，其端点是与 p/q 连续的 Farey 级数 Fq 的两个项。