习题 4, § 2

a) 令$G$为局部紧致阿贝尔的群，令$H$为与$G$同构于$\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$的子群，其中$p, q$为整数$\geqslant 0$；还假设 $G/H$ 同构于 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{T}$。证明$G$与$H$的乘积同构，并且闭子群$L$与$G/H$同构的。 [应用章V, § 3、习题7d)，获得$\mathbf{R}$的连续同态$f$到$G$，使得$f(\mathbf{R}) \not\subset H$；因此构造另一个连续同态$g : \mathbf{R} \to G$使得$f(t) - g(t) \in H$对于所有$t \in \mathbf{R}$和$g(\mathbf{R}) \cap H = \{ e \}$。 注$f(H)$是$\mathbf{R}$的真闭子群，并且对于$H$中的每个元素$z \neq e$，存在$\mathbf{R}$的连续同态$u$ $H$使得$u(1) = z .$]

b) 令$G$为豪斯多夫阿贝尔的拓扑群，令$H$为与$G$同构于$\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$的闭子群，并假设存在满射连续同态$\varphi : \mathbf{R} \to G/H$。证明存在连续同态 $f : \mathbf{R} \to G$ 使得 $f(\mathbf{R}) \cap H = \{ e \}$ 和 $G = H \cdot f(\mathbf{R})$。 [约化对于情况a)，考虑给定拓扑和拓扑的$G$上的最小上界，其中$o$的邻域的基本系统由$\overline{p}^{-1}(\varphi(I))$形成，其中$p : G \to G/H$是典范映射和$I$贯穿$\mathbf{R}$中$o$的基本系统的邻域；表明 $G$ 在这个新的拓扑中是局部紧凑的 (cf. 章 III, § 4, 习题 10 e))。]

c) 给出例，其中$p$到$f(\mathbf{R})$的限制不是双连续的[cf.§ 1，习题2f)]。