习题 6, § 4

令$K$为非离散豪斯多夫拓扑划分环（或域）。

a) 赋予左射影空间$P_n(K)$拓扑除以$K_{n+1}^*$的商等价关系$\Delta_n(K)$。 扩展命题 1、4 和 5 的章 VI, § 3，到 $P_n(K)$ 赋予了这个拓扑。如果$K$连通则表明$P_n(K)$连通，否则完全断开。

\* b) 如果 $K$ 是局部紧致的（但不是离散的），则证明 $P_n(K)$ 是紧致的。 （令$U$为$K$中$0$的紧邻域；令$a \in K$为

令 $S$ 为子集 / $K_{n+1}^*$ 由……组成 / 点 $x = (x_i)$，其所有坐标为 $x_i$ 属于至 $U$，并且对于某些指标 $x_k \in a \cdot \overline{U}$ $k$；表明 $P_n(K)$ 是 $S$ 的典范像。）

c) 同样，$P_n(K)$中$p$维数的射影线性簇的章VI, § 3到集合$P_{n,p}(K)$的扩展定义2和命题6和8； \* 还有命题 7，假设 $K$ 是局部紧凑的 [对于命题 7 考虑，对于指标的每个序列 $\sigma$，$A_\sigma$ 由……组成的子集 $S_\sigma$ b) 中定义的矩阵所有行属于到集合$S$；表明$P_{n,p}(K)$是集合$S_\sigma$的并典范像]。 \* 当$K$为域时，推广章VI, § 3的命题9。

d) 如果$K$不可交换，令$P_{n,p}'(K)$表示$p$维射影线性簇的空间在$n$维数的右射影空间在K上[$P'_{n,p}(K)$的拓扑定义在相同的就像$P_{n,p}(K)$]。证明$P_{n,p}(K)$和$P'_{n,n-p-1}(K)$是同胚的[对于左向量空间$E = K_s^{n+1}$的每个$(p+1)$维向量子空间$V$使对应是$V$的正交补集，即$E$的双$E^*$的向量子空间]。