习题 8, § 1

设X，Y为两个度量空间，设$(f_n)$为X类$\alpha$Borel映射序列入Y(章IX, § 6，习题16)。

a) 假设序列$(f_n)$逐点收敛到映射$f : X \to Y$。证明 $f$ 是类 $\alpha + 1$。 [如果U是Y的开子集，注即$\bar{f}^1(U) = \bigcup_{n \geq 1} \left( \bigcap_{k \geq 0} \bar{f}_{n+k}^1(U) \right)$，并使用章IX, § 6，习题4。]

b) 假设序列$(f_n)$一致收敛于$f$。证明 $f$ 是类 $\alpha$。 [令F为Y的闭子集，对于每个整数$n > 0$，令$V_n$为Y的点的集合，其与F的距离为$\leq 1/n$。证明整数中有递增序列 $n \to m(n)$ 使得 $\bar{f}^1(F) = \bigcap_n \bar{f}_{m(n)}^1(V_n)$。]

c) 假设Y是可数的型。证明，如果$f : X \to Y$是类$\alpha > 0$的Borel函数，则存在函数$g_n : X \to Y$的序列，类$< \alpha$，使得$(g_n)$逐点收敛于$f$。 [表明我们可以将$g_n$视为函数，只需要值的有限数；使用习题 4 h) 和 16 c) 的章 IX, § 6。]