习题 9, § 1

令 X 为 Baire 空间，Y 为空间度量，$(f_n)$ 序列将 X 的连续映射度量为 Y，逐点收敛到函数 $f$。 点 $x \in X$ 被称为序列 $(f_n)$ 一致收敛的点，如果对于每个 $\varepsilon > 0$，存在 $x$ 和整数 $p$ 的邻域 V，使得$d(f_m(y), f(g_n)) \leq \varepsilon$对于所有$y \in V$和所有整数$m \geq p, n \geq p$，$d$是Y上的度量。证明序列$(f_n)$一致收敛的点集合的补S在X是微薄的[cf. 章 IX, § 5, 习题 22 a).] 给出例，其中 S 在 X 中是稠密的。 [取$X = Y = \mathbf{R}$，令$n \to r_n$为$\mathbf{N}$的双射到$\mathbf{Q}$，令$(g_n)$为$\mathbf{R}$的连续映射到$[0, 1]$的序列，收敛为对于 $x \neq 0$ 零函数，在 $x = 0$ 到 1，$\mathbf{R}$ 的每个开集合的收敛性是均匀的，包含 0。然后考虑函数 $f_n(x) = \sum_{p=0}^\infty \alpha_p g_n(x - r_p)$ 的序列，其中序列$(\alpha_p)$以适当的方式趋于0。]