习题 13, § 2

令$X$为拓扑空间，令$Y$为局部紧一致空间，令$H$为$C(X; Y)$的等连续子集。

a) 令$A$为所有$x \in X$中的集合，使得$H(x)$在$Y$中相对紧凑。证明 $A$ 在 $X$ 开放（cf. 章 I, § 9, no. 7、命题 10 和章 II, § 4, no. 3、命题 4）。

b) 假设加法中$Y$就其均匀性而言是完备的；那么$A$也在$X$中闭合[观察到，如果$x_0 \in \overline{A}$，则通过将$H(x_0)$上的超滤器视为$H$上的超滤器的像，$H(x_0)$在$Y$中相对紧凑]。在这种情况下，如果$X$是连通的，那么$H$在$C_c(X; Y)$中相对紧，当且仅当，对于一个点$x_0 \in X$，集合$H(x_0)$在$Y$中相对紧。

c) 取$X$为$\mathbf{R}$的紧致区间$[0, 1]$，取$Y$为由$\mathbf{R}$均匀性赋予的区间$[0, 1[$。给出$C(X; Y)$的等连续子集$H$的例，使得a)中定义的集合$A$是区间$[0, 1]$。

d) 假设 $X = Y$ 和 $H$ 由 $X$ 同胚组成。证明如果 $H$ 一致等连续，则 a) 中定义的集合 $A$ 在 $X$ 中既开又闭。