习题 19, § 2

令$X$为豪斯多夫均匀空间，令$G$为$X$自身同胚的群。

a) 证明如果$G$相对于逐点收敛的拓扑等连续且离散，则$G$在$\mathscr{F}_s(X; X)$中闭合。

b) 证明如果赋予离散拓扑 $G$ 至少在$X$ 点之一 (习题 18)，则$G$ 闭于点式收敛诱导的离散拓扑的$\mathscr{F}_s(X; X)$ 和拓扑 $G$。

c) Let $X$ be the topological sum of two spaces $X_1, X_2$, each homeomorphic to $\mathbf{R}$, so that $X$ can be identified with the product space $\mathbf{R} \times \{1, 2\}$. 赋予 $X$ 乘积均匀性。 对于有理整数的每个对$(m, n)$，令$u_{mn}$表示由$u_{mn}(x_1) = x_1 + m\alpha + n\beta, \ u_{mn}(x_2) = x_2 + m\gamma + n\delta$定义的$X$的同胚，其中$x_1 \in X_1$和$x_2 \in X_2$以及$\alpha, \beta, \gamma, \delta$是四个非零实数，使得$\alpha/\beta$和 $\gamma/\delta$ 是无理数且不同。 证明$X$同胚的$u_{mn}$形式群相对于逐点收敛的拓扑是等连续且离散的，但$G$（具有离散的拓扑）在$X$的任何点都不正确。