习题 8, § 2

设H是拓扑空间X到$\mathbf{R}$的映射的等连续集合。 a) 证明 H 的有限子集的上（或下）包络线的集合是等连续的。 b) 令$v$为X的映射进入$\overline{\mathbf{R}}$，它位于H关于逐点收敛的拓扑的闭包中。证明 $v$ 在 $X$ 上连续，并且集合 $\bar{v}^1(+\infty)$ 和 $\bar{v}^1(-\infty)$ 在 $X$ 上既开又闭（使用习题 7）。

c) Deduce from a) and b) that the upper (resp. lower) envelope $w$ (resp. $v$) of $H$ is continuous on $X$ and that $\bar{w}^1(+\infty)$ [resp. $\bar{v}^1(-\infty)$] is both open and closed in $X$.

d) 假设$X$是连通的并且存在点$x_0 \in X$使得$H(x_0)$在$\mathbf{R}$上方有界。证明，对于$X$的每个紧凑子集$K$，限制的集合到$H$的函数的$K$在$K$中均匀有界[使用c)]。