习题 15, § 3

a) 令$X$为一致空间，令$\mathscr{S}$为$X$的子集的集合，令$\Gamma$为$X$的所有同胚的群，并令$u_0 \in \Gamma$。假设对于每个$A \in \mathscr{S}$，存在$B \in \mathscr{S}$和$X$的随行$V$，使得：$\alpha)$$u_0^{-1}$在$V(A)$上均匀连续； $\beta)$ 关系 $u \in \Gamma$ 和 $(u(x_0), u(x)) \in V$ 对于所有 $x \in B$ 一起意味着 $A \subset u(B)$。在这些条件下，证明$u \to u^{-1}$（在$\Gamma$上定义）相对于$\mathscr{S}$的拓扑在$u_0$连续，在$\Gamma$上收敛。

b) 证明条件 $\beta)$ 可以被替换为： $\beta')$ 存在一个连通的集合 $C \subset X$，使得$V(A) \subset C$ 和$V(C)$ 包含在$u_0(B)$ 的内部。 [通过*归谬法证明$\beta') \Longrightarrow \beta)$。*]