习题 21, § 3

令$X$为局部紧致空间，令$T$为满射映射的$C(X; X)$由……组成的子集。 令$\mathscr{T}$为$T$上的拓扑，其逐点收敛性比拓扑小更细，且$T$局部紧致，并考虑以下对$(T, \mathscr{T})$的性质： (A) 对于所有$u \in T$和$v \in T$，我们有$u \circ v \in T$；对于 $T$ 中的每个 $u \in T$ 映射 $v \to u \circ v$ 和 $v \to v \circ u$ 而言，其自身相对于 $\mathscr{T}$ 是连续的。

a) 假设$X$是紧致且可度量的，对$(T, \mathscr{T})$满足(A)，并且存在$X$的同胚群$G$，其在$T$中相对于拓扑$\mathscr{T}$是稠密的。证明$T$中双射映射的集合$H$是$T$中微薄的集合的补集。 [首先注，利用习题7，$T$的每个点都有一个紧凑的可度量邻域（相对于$\mathscr{T}$）。设$(V_n)$为单位元素$e$的$T$中邻域的基本系统，$G$，并令$H_n$为存在$u \in T$的所有$v \in T$的集合使得 $v \circ u \in V_n$；观察 $H$ 包含交集合 $H_n$。]

b) 证明，在a)的假设下，映射$\pi : (u, x) \to u(x)$到$T \times X$到$X$的限制到$G \times X$是连续的。 [首先表明，对于每个$x_0 \in X$，存在$u_0 \in H$，使得$\pi$在$(u_0, x_0)$连续，通过确定这意味着$\pi$在$(e, x_0)$连续。如果 $V$ 是 $T$ 中 $e$ 的紧凑可度量邻域，接下来使用 a) 和章 IX, § 5、习题 23 证明，存在 $u_0 \in H \cap V$ 使得 $\pi$ 连续于$(u_0, x_0)$。]