习题 28, § 3

设G为拓扑群，并令X为G的有界连续映射到$\mathbf{C}$赋予范数的Banach空间

对于每个$f \in X$和每个$s \in G$，让$U_s f$表示函数$t \to f(s^{-1}t)$，其中属于到X，因此$U_s$，当s穿过G时，等距的形式群 $G'$ 共 X。 如果 f 相对于群 $G'$ 是 X 的近周期元素，则元素 $f \in X$ 被称为 G 上的近周期函数（在左侧）。 为此，对于每个$\varepsilon > 0$，应该存在元素$s_i \in G$的有限数，并且性质，对于每个$s \in G$，至少有一个指标i，使得$|f(s^{-1}t) - f(s_i^{-1}t)| \leq \varepsilon$对于所有$t \in G$。

a) 假设 f 几乎是周期性的。令Y为$G'$下f的轨道X中的闭包，并令$\Gamma$为$U_s$到Y($s \in G$)的限制$V_s$的集合$C_u(Y; Y)$中的闭包。对于每个$\sigma \in \Gamma$，令$f_\sigma \in Y$为$\sigma$下f的像。对于每个$s \in G$，我们有

推断在 $\Gamma$ 上存在连续的函数 $\bar{f}$，使得 $f(s) = \bar{f}(V_s)$ [使用习题 27 c)]。

b) 使用 a) 表明函数 $f \in X$ 在 G 上几乎是周期性的当且仅当它是形式 $g \circ \varphi$ 时，其中 $\varphi$ 是 G 的典范映射进入与 G 相关的紧致群 $G^c$（集合理论，章） IV, § 3, no. 3, 例 8) 且 g 是$G^c$到$\mathbf{C}$的连续映射。

c) 取G为加法群$\mathbf{R}$。证明如果 f 在 $\mathbf{R}$ 上几乎是周期性的，那么对于每个 $\varepsilon > 0$ 都存在实数 T > 0，使得长度 T 包含数 s 的 $\mathbf{R}$ 的每个间隔使得

（s 称为 f 的“ε 周期”）。 [使用b)和章V, § 1中的习题2。]