习题 17, § 4

我们保留习题 15 的假设和记号。

a) 极大理想$\mathfrak{J}(x)$是真实的当且仅当对于$\mathfrak{J}(x)$的元素的每个无限序列$(g_n)$，集合$\overline{g_n}(0)$的交不为空。 [使用习题 16 b)；证明条件是必要的表明，如果$\bigcap_n \overline{g_n}(0) = \varnothing$、函数$f(y) = \sum_{n=0}^\infty \inf (g_n(y), 2^{-n})$是连续的，单位在$A$中并且趋于0，因为$y$趋于$x$而保持在$X$中； 注 $f(y) \leq 2^{-m}$ 代表 $y \in \bigcap_{k \leq m} \overline{g_k}(0)$，并使用习题 15 a) 以及 $V(g)$，其中 $g \in \mathfrak{J}(x)$、形式是 $x$ 的邻域的基本系统 $\beta X$。]

b) 如果唯一真正的最大理想 $\mathfrak{J}(x)$ 是那些$x \in X$，则称$X$ 是实紧的。证明每个完全正则 Lindelöf 空间 (章 I, § 9, 习题 15) 都是实紧的 [使用 a)]。完全正则伪紧空间不是实紧除非，它是紧的。

c) 令$\nu X$ 为所有$x \in \beta X$ 中的集合，使得$\mathfrak{J}(x)$ 为实数。证明每个连续实值函数$f \in A$都可以通过连续性扩展到$\upsilon X$，从而可以规范地识别$C(X; \mathbf{R})$和$C(\upsilon X; \mathbf{R})$。证明$\beta X$的子空间$\upsilon X$是实紧的[注，如果$C(X; \mathbf{R})$中$f$是单位，那么它的连续扩张到$\upsilon X$是单位 $C(\upsilon X; \mathbf{R})$ 和$\beta(\upsilon X) = \beta X$]。 $\upsilon X$ 被称为 $X$ 的*实紧化*。

d) 证明$\upsilon X$是$X$相对于$X$上最粗糙均匀性的完成，其中所有函数$f \in A$都是一致连续的。 （注，$X$上的柯西滤波器$\mathfrak{F}$关于这种均匀性收敛到点$x \in \beta X$；如果$x \notin \upsilon X$，则将存在函数$f \in A$，其在集合中无界$F$。）

e) 从$d$)推导出，如果$u : X \to Y$是完全正则空间$X$到实紧空间$Y$的任何连续映射，则$u$可以通过连续性扩展到映射 $\upsilon X \to Y$。因此，空间$\upsilon X$是普遍映射问题的解，其中$\Sigma$是实紧空间的结构，并且$\alpha$映射和态射是连续的映射（*集合理论*，章IV, § 3, no. 1）。

f) 证明实紧致空间的每个闭子空间都是实紧致，实紧致空间的每个乘积都是实紧致，并且在 Hausdorff 空间中，实紧致子空间的任何交都是实紧致。 [对于例，要证明实紧空间$Y$的闭子空间$X$是实紧紧，请考虑典范嵌入$j : X \to Y$的扩张$\bar{j}$到$\upsilon X$，并且注 $\bar{j}^{-1}(X) = X$；推论$X$在$\upsilon X$是封闭的。 证明其他两种情况类似。]

g) 从 $b$)、$d$) 和 $f$) 推出完全正则空间是实紧的当且仅当它同胚于乘积 $\mathbf{R}^l$ 的闭子空间。