习题 21, § 4

a) 令$X$为完全不连通紧致空间，令$A$为拓扑环。赋予环$\mathscr{C}(X; A)$一致收敛的拓扑，与环结构兼容。令$a$为$\mathscr{C}(X; A)$的左理想，对于每个$x \in X$，令$\mathfrak{J}(x)$为$f \in a$的$f(x)$的集合在$A$的闭包； $\mathfrak{J}(x)$是$A$的闭左理想。证明 $\bar{a}$ 与所有 $f \in \mathscr{C}(X; A)$ 的集合相同，使得 $f(x) \in \mathfrak{J}(x)$ 对于所有 $x \in X$ （注，对于每个 $x \in X$，$x$ 的邻域都是开闭的形式是一个基本函数系统邻域 $x$）。

b) 假设在加法中$A$有一个系统为邻域或$o$，这是双边理想。设$B$为$\mathscr{C}(X; A)$的子环，其中包含为常量，并分隔点与$X$。证明 $B$ 在 $\mathscr{C}(X; A)$ 中是稠密的。 [对于$A$中$X$的每个闭子集$F$、$x \notin F$和$o$的每个邻域$U$，证明存在$f \in B$使得$f(x) = 1$和$f(y) \in U$ 对于所有$y \in F$。]