Exercice 15, § 16

a) Soient A un anneau intègre régulier (AC, X, p. 55), K son corps des fractions. L’homomorphisme $r_{K/A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br(K) est injectif (VIII, p. 267, exerc. 11)$.*$

b) Prouver que l’anneau $A =\mathbf{Q}[X,Y]/(X^2+ Y^2)$ est intègre ; soit K son corps des fractions. Soit H le corps de quaternions de type $(-1,-1)$ sur $\mathbf{Q} ($cf. III, p. 19). Prouver que la classe dans Br(A) de la A-algèbre d’Azumaya $H_{(A)}$ n’est pas nulle, mais que $H_{(K)}$ est isomorphe à $\mathbf{M}_2$(K), de sorte que l’homomorphisme $r_{K/A}$ n’est pas injectif (observer que K contient un élément de carré $-1$).