Exercice 9, § 2

Soient A un anneau topologique complet et $\mathfrak{m}$ un idéal bilatère de A. On suppose que l’anneau $A/\mathfrak{m}$ est un corps, que tout élément de $\mathfrak{m}$ est topologiquement nilpotent (TG III, p. 80, exerc. 9) et qu’il existe un système fondamental de voisinages de 0 dans A formé de sous-groupes du groupe additif de A. Alors l’anneau A est local et $\mathfrak{m}$ est son idéal maximal. En particulier, pour tout nombre premier $p$, l’anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques (V, p. 92) est local et son idéal maximal est $p\mathbf{Z}_p$.