Exercice 13, § 5

Soient $k$ un anneau et $n$ un nombre entier $\geqslant 2$; notons A le sous-anneau de $\mathbf{M}_n(k)$ formé des matrices triangulaires supérieures et M le A-module à droite $k^n$. Prouver que M est projectif de type fini, mais que l’anneau des homothéties de M n’est pas dense dans son bicommutant (cf. VIII, p. 83, th. 3 et VIII, p. 84, remarque). En particulier M n’est pas équilibré.