Bài tập 1, § 4

Lấy G là một trong các nhóm $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ hoặc $\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$; đồng nhất $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ với $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n,\mathbf{C})$ hoặc $\mathfrak{s}\mathfrak{p}(2n,\mathbf{C})$, tương ứng, x. §3, no. 4 và Bài tập 3. Ta dùng các ký hiệu của Chương VIII, §13, số 1 và 3, với $k=\mathbf{C}$.

a) Chứng minh rằng nhóm con T của G gồm các ma trận đường chéo có hệ số phức là một xuyến cực đại, và rằng $L(T)_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$.

b) Đồng nhất X(T) với một nhóm con của $\mathfrak{h}^*$ bằng đồng cấu $\delta$. Chứng minh rằng các dạng tuyến tính $\varepsilon_i$ và các trọng số trội $\varpi_j$ thuộc X(T). Nếu $t=$ diag($t_1, . . . , t_n$)$\in T$, thì $\varepsilon_i(t) =t_i$ và $\varpi_j(t) =t_1. . . t_j$ với $1\leq i, j\leq n$. c) Suy ra từ b) một chứng minh khác của sự kiện rằng các nhóm $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ và $\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$ là đơn liên (x. §3, Bài tập 4 và 6).