Exercice 1, § 4

On prend pour G l’un des groupes SU(n, C) ou U(n, H) ; on identifie $g_c$ à sl(n, C) ou à $\mathfrak{sp}(2n, \mathbf{C})$ respectivement, cf. § 3, no 4 et exerc. 3. On utilise les notations de VIII, § 13, nos 1 et 3, avec $k = \mathbf{C}$. a) Montrer que le sous-groupe T de G formé des matrices diagonales à coefficients complexes est un tore maximal, et qu’on a $L(T)_{(C)} = \mathfrak{h}$. b) On identifie X(T) à un sous-groupe de $\mathfrak{h}^*$ par l’homomorphisme $\delta$. Montrer que les formes linéaires $\varepsilon_i$ et les poids fondamentaux $\varpi_j$ appartiennent à X(T). Si $t = \operatorname{diag}(t_1, ..., t_n) \in T$, on a $\varepsilon_i(t) = t_i$ et $\varpi_j(t) = t_1 ... t_j$ pour $1 \leq i, j \leq n$. c) Déduire de b) une autre démonstration du fait que les groupes SU(n, C) et U(n, H) sont simplement connexes (cf. § 3, exerc. 4 et 6).