习题 1, § 2

如果关系 $xy \in S$ 蕴含 $x \in S$ 和 $y \in S$，则环 $A$ 的乘法子集 $S$ 称为饱和。

(a) 为了使$A$的子集$S$可乘且饱和，$A - S$是$A$素理想的并是充分必要的。

(b) 令$S$为$A$和$\tilde{S}$集合与$x \in A$的乘法子集，其中存在$y \in A$使得$xy \in S$。证明 $\tilde{S}$ 是最小的饱和乘法子集包含 $S$，$A - \tilde{S}$ 是 $A$ 不满足 $S$ 的素理想的并，并且对于每个 $A$ 模从$S^{-1}M$到$\tilde{S}^{-1}M$的$M$、典范映射是双射的。

(c) 令$S$和$T$为$A$的两个乘法子集。证明以下两个性质是等价的：$(\alpha) \ S \subset \tilde{T}$；对于每个$A$-模块$M$，$(\beta)$使得$S^{-1}M = 0, \ T^{-1}M = 0$。 （要看到 $(\beta)$ 蕴含 $(\alpha)$，请考虑商 $A$-模 $A/A_S$，其中 $s \in S$。）