习题 25, § 2

当记号为习题 24时，假设$A$是左齐环。

(a) 证明典范映射 $j_1 : A \to A_{\mathscr{F}}$ 是单射的，这使得我们可以用子群的 $A_{\mathscr{F}}$ 来认同 $A$。令$\mathscr{F}'$为$A_{\mathscr{F}}$的左理想$l'$的集合，使得$l'_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$；证明$\mathscr{F}'$是$A_{\mathscr{F}}$的左理想$l'$的集合，使得$l' \cap m' \neq 0$对于$A_{\mathscr{F}}$的每个左理想$m' \# 0$。 （首先证明，对于 $A_{\mathscr{F}}$、$A \cap m' \neq 0$、注的每个左理想 $m' \neq 0$，另一方面，理想 $l' \in \mathscr{F}'$ 恰好 $A_{\mathscr{F}}$ 包含的左理想 $m \in \mathscr{F}$。）证明环 $A_{\mathscr{F}}$ 保持整洁。

(b) 证明 $A_{\mathscr{F}}$ 是一个 \emph{单射} $A$ 模，即 (\emph{代数}, 章 II, §2, 习题 11)，对于 $A$ 的每个左理想 $l$ 以及所有

存在$a' \in A_{\mathscr{F}}$，使得$u(x) = xa'$对于所有$x \in 1$。 （使用习题 24 (b) 和习题 19 (c)。）推导出 A-模 $A_{\mathscr{F}}$ 的每个自同态都是形式 $u : x \mapsto xa'$，其中 $a' \in A_{\mathscr{F}}$（注 $\operatorname{Hom}_A(A, A_{\mathscr{F}}) = \operatorname{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(A_{\mathscr{F}}, A_{\mathscr{F}})$） 习题 19 (e))；还有$\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$。

(c) 证明，对于 A 的每个左理想 1，$1_{\mathscr{F}}$ 是 $A_{\mathscr{F}}$ 的直因子。 （令 m 为 A 的左理想，使得 $m \cap 1 = 0$ 和 $m + 1 \in \mathscr{F}$；$m + 1$ 的扩展投影到 m，即 1 上的零，到 $A_{\mathscr{F}}$ 的自同态 $p$；证明$p^2 = p$ 还有$\operatorname{Ker}(p) = 19$。）

(d) 证明 $A_{\mathscr{F}}$ 是绝对平坦环 (章 I, § 2, 习题 17)。 （约化对应于$A = A_{\mathscr{F}}$的情况。如果$u$是左A-模$A_s$的自同态$x \mapsto xa$，则$\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$，$\operatorname{Ker}(u)$因此在A中承认一个互补理想m；注 $\operatorname{Im}(u)$ 与 m 同构的，因此是单射 (代数, 章 II, § 2, 习题 11)，因此直因子是 A，（前述）。最后，使用代数的习题 13， 章 11，§ 1。）