习题 25, § 4

令$A$为诺特环，$X = \operatorname{Spec}(A)$其频谱，$M$有限生成的$A$模和$Y = \operatorname{Supp}(M)$。令$Y_k$ ($1 \leq k \leq n$) 为$Y$ 的不同连通分量。

(a) 证明存在一个唯一的 $M$ 分解作为直和 $M = M_1 \oplus M_2 \oplus \ldots \oplus M_n$，使得所有 $k$ 都有 $\operatorname{Supp}(M_k) = Y_k$。

(b) 如果$a = \operatorname{Ann}(M)$和$a_k = \operatorname{Ann}(M_k)$，证明$a_k$在对和$\prod_{k=1}^n a_k = a$互质。

（使用no. 4的命题17，约化用于$a = 0$和$Y = X$以及no. 3的应用命题15。）