习题 24, § 5

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交换代数, II, 153

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令 $A$ 为环，使得 $\mathrm{Spec}(A)$ 相连。

(a) 如果 $M$ 是秩 $n$ 的射影 $A$ 模，则 $M$ 的每个直因子 $N$ 不减至0都承认秩 $\leq n$ 。

(b) 令 $u$ 为有限秩 $M$ 的射影 $A$ 模到有限秩 $M'$ 的射影 $A$ 模的同态，使得 $u(M)$ 为直因子 $M'$ 。证明 $\mathrm{Ker}(u)$ 是 $M$ 的直因子 (cf. 习题 23) 并且

\mathrm{rg}(\mathrm{Ker}(u)) + \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(u)) = \mathrm{rg}(M).

另外，转置 ${}^t u$ 使得 ${}^t u({M'}^*)$ 是 $M^*$ 和 $\mathrm{rg}({}^t u({M'}^*)) = \mathrm{rg}(u(M))$ 中的直因子(cf.§ 3，习题I4(a))。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。