习题 19, § 2

(a) 令 E 为线性紧致 A-模。证明以下条件是等价的：

(α) 对于从 E 到 Hausdorff 线性拓扑 A-模 F 的每个连续线性映射 $u$，$u$ 是从 E 到 F 的严格态射（一般拓扑、章 III, § 2, no. 8）。

(β) 对于 E 的每个闭子模 F，E/F 上的商拓扑是最小的拓扑 (习题 17)。

(γ) E 是完备的，且 E 中存在 0 的开邻域的基本系统 $(U_\lambda)$，子模的由……组成，并且$E/U_\lambda$ 为阿廷模。

（要看到 (γ) 蕴涵 (β)，约化对应于 $F = 0$ 的情况，并使用习题 17 和 18。）

如果 E 满足等价条件 (α)、(β) 和 (γ)，则 E 称为严格线性紧致。

(b) 设 E 为 Hausdorff 线性拓扑 A-模，F 为 E 的闭子模。为了使 E 严格线性紧致，F 和 E/F 必须且充分。

(c) 严格线性紧致模的每个逆极限都是严格线性紧致。

(d) 令 E 为从 E 到严格线性紧致 A-模 F 的 Hausdorff 线性拓扑 A-模和 $u$ 线性映射。证明，如果 $u$ 的图在 $E \times F$ 内闭合，则 $u$ 是连续的（使用习题 16 (c) 和事实上，如果 M 在 E 中是闭的并且 $E/M$ 是阿廷的，则 M 在 E 中是开的）。