习题 11, § 3

设 A 为 p-adic 整数（$p$素的）的环 $\mathbf{Z}_p$ 和 p-adic 拓扑，它是完整的 Zariski 环。令 E 为 A-模 $A^{(\mathbf{N})}$ 以及 p 进数拓扑。 (a) 证明 E 的补全 $\hat{E}$ 可以用 A 的 $A^{\mathbf{N}}$ 由……组成的子模 、序列 $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 、A 的元素来识别，从而$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。 (b) 设$e_n$为E的典范基的第n个向量。考虑由向量$e_{2n-1}$生成的E子模F和向量$p^{2n}e_{2n} - e_{2n-1} \ (n \geq 1)$生成的子模G。证明 E 上的 p-adic 拓扑在 F 和 G 上诱导的拓扑是 F 和 G 上的 p-adic 拓扑，但是，在 $\hat{E}$ 中，

(c) 在$\hat{E}$中，设$a_r = \sum_{n=0}^{\infty} p^n e_{r+2} \ (r \geq 0)$；令 H 为由 $a, (r \geq 0)$ 生成的 $\hat{E}$ 的子模。证明在 $H$ 拓扑上由 $\hat{E}$ 上的 $p$-adic 拓扑引起，是 $H$ 上的 $p$-adic 拓扑，但$E \cap H \neq \overline{E} \cap \overline{H}$。

(d) 令$L$为$p^n e_n$生成的$E$中的子模；证明在 $L$ 拓扑上由 $E$ 上的 $p$-adic 拓扑引起的与 $L$ 上的 $p$-adic 拓扑不同。