习题 13, § 3

令 $A$ 为诺特局部环，最大理想为 $m$ 和 $B$ 环，使得 $A \subset B \subset \hat{A}$。假设 $B$ 是诺特局部环，最大理想为 $n$ (习题 14)。

(a) 证明 $n = B \cap m$ 和 $B = A + n$。如果进一步$n^2 = B \cap m^2$，则$n = Bm$（注则$n = Bm + n^2$）。

(b) 设$K$为交换域、$C$多项式环$K[X]$、$p$素理想$CX$、$A$ (诺特)局部环$C_p$以及$m$其最大理想；完成$\hat{A}$与正式幂级数$K[[X]]$（no. 4，命题8）的环进行标识。设$u = u(X)$为$\hat{A}$的元素，它超越有理分式$K(X)$的域（cf.*代数*，章V, §5，习题13或实变量的函数，章 III, § 1，习题 14 (a))，没有常数项；令 $B$ 为 $\hat{A}$ 由……组成商中的子环

其中 $P$ 和 $Q$ 是 $K[X, Y]$ 中的多项式，使得 $Q(0, 0) \neq 0$。证明$B$是诺特局部环包含$A$，其最大理想$n$由$X$和$u(X)$生成；但在 $B$ 上，$n$-adic 拓扑比 $m$-adic 拓扑严格更粗糙。

(c) 与(b)中的定义相同，令$B'$为$A$和$u(X)$生成的$B$中的子环；表明$B'$不是局部环（注，$B' \cap n$是$B'$的最大理想，但$B'$的元素在$B'$中不可逆，并且属于到$B' \cap n$不可逆）。