习题 14, § 3

设$K$为交换域，$C$环$K[X, Y]$，$p$为$C$的最大理想$CX + CY$，$A$局部环$C_p$，$m$其最大理想， $\hat{A}$完成$A$，与正式幂级数$K[[X, Y]]$（no. 4、命题8）的环一起识别。令$B$为型$Xf(X, Y) + (P(Y)/Q(Y))$的形式幂级数的$\hat{A}$由……组成的子环，其中$f \in \hat{A}$和$P$和$Q$是两个多项式$K[Y]$使得$Q(0) \neq 0$。

(a) 证明$A \subset B$、$B$是局部环，其最大理想$n$等于$Bm$，并且对于每个整数$k \geq 1$，$n^k = B \cap m^k$；因此，$B$在$\hat{A}$和拓扑处处密集，由$m$-adic 拓扑在$B$上诱导，在$\hat{A}$上是$n$-adic 拓扑。

(b) 证明在 $B$ 中，由形式 $Xf(Y)$ 的所有元素生成的理想$b$，其中 $f(Y) \in K[[Y]]$ 不是有限生成的 (cf. 代数, 章 V, § 5， 习题 13)，因此$B$不是诺特，尽管$B/n$和$\mathrm{gr}(B) = \mathrm{gr}(\hat{A})$是诺特并且理想的$n$是有限生成的； $b = B \cap \hat{A}X$和$b$是主理想（非封闭）$BX$在$B$的闭包；最后 $B$ 不是扁平 $A$ 模块，并且 $\hat{B} = \hat{A}$ 不是扁平 $B$ 模块（使用章 I, § 3, no. 5、命题 9）。

(c) 设$f(Y)$为$K[[Y]]$中的可逆形式幂级数，它不是$K(Y)$的元素。 如果$c$是$X$和$Xf(Y)$生成的$B$的理想，证明在$c$上$n$-adic拓扑严格更细比拓扑在$c$上由$n$-adic引起$B$拓扑。 证明典范映射$\hat{B} \otimes_B c \to \hat{c}$（其中$\hat{c}$是$c$相对于$n$进数拓扑的完成）不是单射的（考虑$f(Y) \otimes X$和$1 \otimes Xf(Y)$的像；证明这两个元素在$\hat{B} \otimes_B c$，将张量积视为张量积$\hat{B} \otimes_{K(Y)} \hat{c}$的商）。

(d) 令$f_1(Y), f_2(Y)$为$K[[Y]]$中的两个可逆形式幂级数，使得$1, f_1$和$f_2$在$K(Y)$上线性无关。设$c_1, c_2$为$Xf_1(Y)$和$Xf_2(Y)$分别生成的$B$的主理想； $c_1$和$c_2$上的$n$进拓扑分别与$B$上的拓扑相同，并且$\hat{A} = \hat{B}$中这些理想的闭包都与$\hat{A}$的主理想$\hat{A}X$相同。推出$\hat{A}$中$c_1 \cap c_2$的闭包不等于$\hat{c}_1 \cap \hat{c}_2$，并且$c_1 : c_2$的闭包不等于$\hat{c}_1 : \hat{c}_2$。