习题 25, § 3

令$A$为主理想环（习题24），$a$为$A$的双面理想$\neq 0$和$a$的$a$元素，具有习题24（f）中所述的属性。让$P\{M\}$表示以下性质：$M$是左$A$模，$M$的每个有限生成的子模都会被$a$的幂消灭。

(a) 表明习题 22 的条件 (α)、(β) 和 (γ) 得到满足（考虑位似 $a_M$ 并如习题 23 (a)、注意到中那样论证 $\mathrm{Ker}(a_M')$ 和 $\mathrm{Im}(a_M')$是子模 / $M$）。

(b) 显示每个挠元 $A$-模块 $M$ (习题 24 (c)) 是子模 $M_a$ 的直和，其中有性质 $P$ 和子模 $M'_a$使得位似$a_M$的限制到$M'_a$是双射的（观察到，如果$N$是挠元$A$模并且$a_N$是单射的，那么$a_N$是双射的；为此，将约化转换为$N$单生的情况，并使用习题24（a）以及*代数*，章VIII, § 2, no. 2，引理2）。

(c) 设$S$为元素$s \in A$的集合，其中典范像在环$A/a$是可逆的。证明 $S$ 是 $A$ 的乘法子集，并且以下条件对于 $A$ 的任何左理想 $I$ 是等价的：

(α)$I \cap S \neq \varnothing$; (β)$I + a = A$; (γ) $(A/I)_a = 0$（在(b)的记号中）； (δ) 对于所有$x \in A$，存在$s \in S$使得$sx \in I$。

推出$A$相对于$S$ (章 11, § 2, 习题 22) 具有分数的（左或右）环，这是主理想环，且仅生成其非零两侧理想通过典范像的理想$a^n$；而且$A$的典范映射对于分数的环是单射的。

(d) 现在假设双边理想 $a$ 是*极大*。证明，对于每个整数 $n > 0$，环 $A/a^n$ 在完全主环（代数，章 VIII, § 6）上同构于矩阵环 $\mathbf{M}_r(B_n)$， 习题20)。如果$b_n$是$B_n$的最大理想，则表明$b_n^n = 0$，则$B_n$的每个（左或右）理想都是形式$b_n^k$并且是单生的。 （注一方面

（代数，章VIII, § 6，习题5），另一方面，对于$k < n$，$b_n^k/b_n^{k+1}$必然是一个简单的$B_n$模块，没有它$M_r(b_n^k)$就不可能是单生的$(A/a^n)$模块。）

推出$A$相对于拓扑$T_P(A_s)$的完成$\hat{A}$是矩阵环$M_r(B)$超过环$B$，没有除子或零，并且每个理想（左或右）是幂相同的最大两侧理想。