习题 1, § 5

令$A$为交换环，且$3$为$A$的理想。如果对于每个有限生成的$A$-模块$N$，$A$-模块$N \otimes_A M$是具有$\mathfrak{g}$-进数拓扑的Hausdorff，则$A$-模块$M$相对于$3$绝对被称为*Hausdorff*；绝对地 Hausdorff $A$ 模块是理想的 Hausdorff。

(a) 为了使$M$相对于$\mathfrak{g}$绝对为Hausdorff，对于每个有限生成的$A$-模$N$和$N$的每个子模$N'$，$\operatorname{Im}(N' \otimes_A M)$在$N \otimes_A M$内闭合是充分必要的与 $3$-adic 拓扑。

(b) 设$B$是可交换的$A$代数，$\mathfrak{L}$是$B$包含$\mathfrak{g}B$的理想。如果 $M$ 是关于 $\mathfrak{L}$ 的绝对 Hausdorff $B$ 模，则 $M$ 是关于 $3$ 的绝对 Hausdorff $A$ 模。