习题 27, § 2

设 M 为 A-模，Q 为 M 的 p-primary 子模。如果 m 为最小的整数 k，使得 $p^k M \subset Q$ (cf. 习题 3)，则称 Q 为指数 m；如果不存在整数 k 与此性质，则 Q 被称为无限指数。如果 Q 是有限指数，则 Q 也被称为强初等。

(a) 证明，如果 $Q : p = Q$，Q 具有无限指数，并且存在 $\alpha \in p$，使得 $Q : (\alpha)$ 与 Q 不同，并且是无限指数 M 的 p 初等子模。

(b) 给出环 A 的例和无限指数的 p 主理想 q，使得 $q : p = q$ (cf. § 1, 习题 2)。

(c) 设 K 为域，A 多项式环 $K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$，p 为由 $X_n$ 生成的 A 素理想，q 为由乘积 $X_i X_j$ ($i \neq j$) 和元素 $X_n^{n+1}$ 生成的 p 素理想。证明对于所有 $a \in p - q$，$q : (a)$ 都是有限指数，$q : p \neq q$ 和 $q : p$ 是无限指数的 p 初等理想。

(d) 令 Q 为有限指数 e 的 M 的 p 次子模。证明 $k < e$ 的 $p^k M$ 都是不同的，子模 $Q : p^k$ $k < e$ 都是不同的。对于 A 的每个理想 a，表明 $Q : a = Q$ 或 $Q : a$ 是 M 中与 M 不同且指数为 $\leq e - 1$ 的 p 基数子模（观察如果 $a \subset p$ 则 $p^{e-1} M \subset Q : a$）。