习题 17, § 2

(a) 令$K$为无限域，$E$为$K$的有限可分代数扩张，以及$g$为$K[X]$的多项式。证明存在元素 $x \in E$，使得 $E = K(x)$ 且$x$ 在 $K$ 上的最小多项式与 $g$ 互质（如代数、章 V, § 7, no. 7、命题 12 中的论证）。

(b) 设$k$为域，$A$为初等$k$代数（章IV, § 2，习题32），$m$为其独特的素理想。如果$A/m$是$k$的超越扩张，则存在$A$元素，它们在$k$上不是代数。如果$A/m$是$k$上的代数且$d$是整数，则至少等于$A/m$在$k$上的可分次数的可分因子（因此任何整数，如果此可分） 因子是无穷大），证明$A$元素中存在$k$的最小多项式为次数$\geq d$。如果进一步$A/m$在$k$上不可分，或者如果$m \neq 0$，则在$A$元素中存在其在$k$上的最小多项式为次数$> d$。 （如果 $A/m$ 不可在 $k$ 上分离，则使用代数、章 V, § 8、习题 5。如果 $A/m$ 是可分离的且次数 $d$ 超过 $k$ 且$x \in A$使得$\xi \in A/m$、$x$的类是$A/m$的原语元素，其最小多项式为$f \in k[X]$，观察$f'(\xi) \neq 0$并推断，如果$y \neq 0$是元素 $m$，然后$f(x + y) \neq 0$。）

(c) 令$k$为无穷域，$A$为$k$代数，为$r$原数代数、$A_i$、$(1 \leq i \leq r)$的直接合成；令 $m_i$ 为 $A_i$ 的最大理想，并且 $d_i$ 整数至少等于 $A_i/m_i$ 的次数在 $k$ 上的可分因子，如果 $A_i$ 是代数且该因子是有限的，或任意整数否则。证明$A$ 元素中存在$k$ 上不是代数的或者$k$ 上的最小多项式为次数 $\geq \sum_{i=1}^r d_i$；如果$m_i$中的另外一个是$\neq 0$或者域$A_i/m_i$之一不是$k$的可分代数扩张，则在$A$元素中存在它不是超过$k$的代数或其最小值$k$ 上的多项式为次数 $> \sum_{i=1}^r d_i$（使用 (a) 和 (b)）。