习题 18, § 2

设$A$为局部积分闭域，$K$为分数的域，$m$为最大理想，$k = A/m$为剩余类域。 设$K'$为次数$n$的$K$的有限代数扩张，$K$包含$A$的$A'$子环，在$A$和$K'$上积分作为分数的域和$m_i$（$1 \leq i \leq r$）$A$的最大理想。 An ideal $m$ is called unramified in $A'$ if there exists a basis $(w_i)_{1 \leq i \leq r}$ of $K'$ over $K$ consisting of elements of $A'$ and whose discriminant $D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_r)$ (Algebra, Chapter IX, § 2) belongs to $A - m$.

(a) 证明，如果 $m$ 在 $A'$ 中是未分支的，$K'$ 是 $K$ 的可分扩张，$A'$ 是$A$ 在 $K'$ 中的整体闭包，并且是一个自由的 $A$ 模，其中每基超过$A$是$K'$中的基超过$K$； $mA'$ 是 $A'$ 的雅各布森根，$A'/mA'$ 是半单 $k$-秩 $n$ 在 $k$ 上的代数，可在 $k$ 和直接合成上分离域$A'/m_i'$。

(b) 设$d_i$为$A'/m_i'$的次数在$A/m$上可分的因子。证明，如果 $k$ 是无限的，$\sum_i d_i \leq n$（使用习题 17 (c)）；此外，以下条件是等价的： (α) $m$ 在 $A'$ 中是无分支的。 (β) $A'$ 是有限生成的 $A$ 模，$A'/mA'$ 是半单 $k$ 代数，并且可在 $k$ 上分离。 (γ) $\sum_{i=1}^r d_i \leq n$。 （看出（β）暗示（γ），注存在$A$-模块$A'$的生成元的系统，其类模。$A'/mA'$的$mA'$形式基超过$k$，使用章II, § 3, no. 2，推论2至命题4；

要看出 (γ) 蕴含 (α)，请使用习题 17 (c) 证明存在 $A'/mA'$ 的基超过幂 $\xi^i$ 的 $k$ 由……组成元素 $\xi$ ($0 \leq i \leq n-1$);如果$x \in A'$是类$\xi$的元素，则推断$D_{K'/K}(1, x, \ldots, x^{n-1})$属于到$A - m$。）给出例，其中$K'$可在$K$上分离， $A'/mA' = A/m$ 和 $A'$ 不是有限生成的 $A$ 模块 (cf. 习题 9 (c))。

(c) 扩展 (b)的结果对于$k$有限的情况（在习题 16的记号中）表明，如果$n$在$B'$中无分支，则$m$在$A'$中无分支；考虑到以下事实： $B/n$ 是无限的，使用习题 16 (c)，从而得到元素 $t \in B'$ 使得

证明$z$可以被假设为$A'[X]$中的多项式，并且通过将上述判别式表示为$X$中的多项式，获得$n$元素$w_i$（$1 \leq i \leq n$）$A'$的系统的存在性，使得$D_{K'/K}(w_1, \ldots, w_r) \in A - m$）。