习题 9, § 2

令 $k_0$ 为域且 $A'$ 多项式环 $k_0[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ 在无限个序列的不确定中；它是一个积分闭域，其分数的域为$K' = k_0(X_n)_{n \in \mathbf{N}}$。令 $\sigma$ 表示 $A'$ 的 $k_0$ 自同构，使得

对于所有$n \geq 0$； $\sigma$和$A'$的自同构的身份自同构形式群$\mathscr{G}$。令$A$为$\mathscr{G}$的不变量环，令$K$为其分数的域； $K'$是次数2的$K$的可分扩张，$A'$是$K'$中$A$的积分闭包。

(a) 证明 $A'$ 是一个 $A$ 模，承认 无限 基。 （如果$k_0$具有特征$\neq 2$，则表明，如果我们写$Y_n = X_{2n} - \frac{1}{2}X_{2n+1}$，$A$是由$X_{2n+1}$和乘积$Y_n Y_m$为$n > 0, m \geq 0$生成的$A'$的子环。如果$k_0$ 具有特征 2，$A'$ 由 $X_n, +_1$ 和

$n \geq 0$。）

(b) 令$m'$为所有$X_n$生成的$A'$的最大理想，并令$m = A \cap m'$；证明$m' = mA'$，$m'$是$A'$位于$m$之上的唯一理想，并且域、$A/m$和$A'/m'$是规范同构的。

(c) 设$p'$为$X_{2n+1}$为$n \geq 0$生成的$A'$的素理想，并设$p = p' \cap A$；设$k, k'$分别为$A/p$和$A'/p'$的分数域； $p'$是$A'$位于$p$之上的唯一素理想。如果$k_0$不是特征2，则$k'$是次数2的$k$可分扩张；如果$k_0$是次数2，则$k'$是$k$的无限径向扩张。