习题 6, § 1

令 R 为 R 的环和 A 子环，使得 S = R − A 非空，且 S 属于的两个元素到 S 的乘积。

(a) 令$a, a'$为A和s的两个元素，s'为S的两个元素，使得$sa \in A$和$s'a' \in A$。向 A 证明两个元素 $sa', s'a$ 属于之一。推断元素 $a \in A$ 的集合 $p_1$ 存在$s \in S$，使得 $sa \in A$ 是 A 的素理想。

(b) 证明$a \in A$的集合$p_0$使得$sa \in A$对于所有$s \in S$来说是R和A的素理想；是A和$p_0 \subset p_1$中包含的R的最大的理想值。

(c) 元素$x \in R$的集合n，使得存在$s \in S$，其中$sx = 0$既是R的理想，又是A和$n \subset p_0$的理想。

(d) 环 A 在 R 中全闭。

(e) 如果 R 为域，则 A 为 R 的估值环，$p_0 = (0)$、$p_1$ 为 A 的最大理想。