习题 7, § 1

令 R 为环。如果不存在 R 的子环 A' 的有序对 (A', p') 由……组成和 A' 的素理想 p' 使得 $A \subset A', A' \neq A$ 和 $p' \cap A = p$，则 R 的子环 A 的有序对 (A, p) 由……组成和 A 的素理想 p 被称为 R 中的*极大*。

(a) 对于 R 的每个子环 B 和 B 的每个素理想 q，都存在有序对 (A, p)，在 R 中最大，使得 $A \supset B$ 和 $q = p \cap B$。

(b) 为了使有序对 (A, p) 在 R 中最大，对于所有 $s \in R - A$，存在一个元素 $c_i \in p$ ($1 \leq i \leq n$) 的有限族，使得元素 $b = c_1 s + c_2 s^2 + \ldots + c_n s^n$ 属于到 $A - p$ （使用章 11、§ 2, no. 5、推论 3 至命题 11)。

(c) 表明，如果有序对(A，p)在R中最大，则$R - A$属于到$R - A$的两个元素中的乘积。 （如果s，s'在$R - A$和$ss' = a \in A$中，则考虑至少整数$n, m$，使得存在$c_i \in p$（$1 \leq i \leq n$），其中$b = \sum_i c_i s^i \in A - p$和$c'_j \in p$（$1 \leq j \leq m$）

假设例$n \geq m$，考虑乘积$bb' \in A - p$，并从定义与整数$n$得到矛盾。）

(d) 在(c)的假设下，我们写$S = R - A$；证明 $a \in A$ 的由……组成的理想$p_1$，使得存在 $s \in S$，其中 $sa \in A$ 包含在 p 中（使用 (b)）。 更不必说 $a \in A$ 的由……组成的理想$p_0$，使得所有$s \in S$ 的$sa \in A$ 都包含在p (习题 6 (b)) 中。我们写$A' = A/p_0, p' = p/p_0$和$R' = R/p_0$； 有序对 (A', p') 则在整环 $R$ 中最大，并且对于所有非零 $a' \in A'$，存在 $s' \in S' = R' - A'$ 使得 $s'a' \in S'$。

(e) 令$(A, p)$为整环$R$中的最大值有序对，使得对于所有非零$a \in A$，存在$s \in S = R - A$使得$sa \in S$。我们写$S_0 = S \cup \{1\}$并用分数$S_0^{-1}R$的$R$、环表示； 典范同态 $R \to R$ 是单射的，因此将 $R$ 与 $R_0$ 的子环等同。证明$R$，域与$R$的分数的域一致。令$(B, q)$为$R_0$中的最大值有序对，使得$B \supseteq A$和$q \cap A = p$。表明 $B \cap R = A$；在其他字中，$A$是$R$的交和$R$的估值环，$p$是$A$的交和该估值的最大理想环。

(f) 设$K_0$为正式幂级数$A_0[[Y]]$和$R$的域、$A$、多项式环$K_0[X]$、$B$环正式幂级数 $Y^{-h}f(Y)$ 的分数 $B_Y$ 由……组成的环，其中$f \in B$ 和$h \geq 0$。设$P$为形式幂级数的素理想$YB$，没有常数项、$A = K_0 + p$，即$B$的子环。显示$A$是$R$的交，以及$R$的分数$K$和$p$交的域的估价环$C$ $A$和$C$的最大理想；此外，$A$的分数的域等于$R$，$A$中的每个$a \neq 0$都是形式$s^{-1}s'$，其中$s, s'$在$S = R - A$中。然而，有序对$(A, p)$在$R$中并不是最大。