习题 8, § 1

给定环 $A$，系数在 $A$ 中的多项式 $P(X_1, \ldots, X_n)$ 被称为“受支配”，如果它是形式 $X^\alpha + \sum_\beta c_\beta X^\beta$，其中乘积中的 $\beta < \alpha$ 对所有的都按集合 $\mathbf{N}^n$ 排序$\beta$使得$c_\beta \neq 0$。在环 $R$ 中，子环 $A$ 被称为*辅助求值*，如果对于每个支配多项式 $P \in A[X_1, \ldots, X_n]$（任意 $n$），$P(s_1, \ldots, s_n) \neq 0$ 对于所有元素 $s_i \in R - A$ ($1 \leq i \leq n$)。

(a) 表明，如果$A$在$R$中具有平价，则$S = R - A$属于的两个元素到$S$中的乘积。

(b) 令$A$为环$R$中的子环，使得$S = R - A$属于中的两个元素至$S$中的乘积；令 $p_0$ 为$A$ 和$R$ 由……组成 $a \in A$ 的素理想，使得$sa \in A$ 对于所有$s \in S$ (习题 6 (b))。为了使$A$在$R$中成为副值，$A/p_0$在$R/p_0$中成为副值是充分必要的。

(c) 设$R$为环且$h : R \to R'$环同态。如果$A'$是$R'$的副评价子环，则$A = h^{-1}(A')$是$R$的副评价。推出，如果$(A, p)$是$R$（习题7）中的最大有序对，则$A$在$R$中是平价的（使用（b）和习题7（d）和（e））。

(d) 设$R'$为环且$R$子环为$R'$。 如果$A$是$R$的副评价子环，则证明存在$R'$的副评价子环$A'$使得$A' \cap R = A$。 （如果$S = R - A$和$S_0 = S \cup \{1\}$，请考虑环$T' = S_0^{-1}R'$和典范同态$h : R' \to T'$。 令$B$为$h(A) \cup (h(S))^{-1}$生成的$T'$的子环，$b$为$(h(S))^{-1}$生成的$B$的理想值。 证明 $b \neq B$；考虑$T'$中的最大有序对$(A', p'')$，使得$B \subset A''$和$b \subset p''$并取$A' = \overline{h}(A'')$。）

由此结论可知，如果$R$为整环，则$R$的副评价子环为$R$的交，以及$R$的分数的域的评价环。