习题 2, § 10

设$K$为域，$v$为$K$的$K$、$L$扩张的估值，$v'$为$L$延伸$v$的估值；如果 $e(v'/v) = f(v'/v) = 1$，$L$ 被称为 直接的扩张（相对于 $u'$）。完成$K$的$\hat{K}$是$K$的直接的扩张。

(a) 为了使$L$成为直接的扩张或$K$，对于所有$x \in L - K$，存在$y \in K$使得$v'(x - y) > v'(x)$是充分必要的。

(b) 对于每个域$K$，证明存在$K$的*极大*直接的扩张$L$，即不承认直接的扩张与其自身不同（使用§ 3， 习题 3 (b))。

(c) 证明，如果 $K$ 与$v$ 定义的拓扑是线性紧致的，则它除了自身之外不承认直接的扩张（使用 (a)，注意到，在 (a) 的记号中，$v'(x - y)$ 的集合为$y \in K$在$v'$的值群中没有最大元素）。

(d) 假设$K$不是线性紧的；令$B$是$v$的阶群的良序子集，并且$(a_\beta)_{\beta \in B}$是$K$的元素族，这样，对于$\lambda < \mu < v$，

但对于每个有序对$(\lambda, \mu)$，不存在$x \in K$使得$v(x - a_\lambda) = v(a_\lambda - a_\gamma)$使得$\lambda < \mu$。对于$K$的每个扩张$E$和$v$到$E$的每个扩张$w$，令$D_E(\lambda)$表示$z \in E$的集合，使得$v(z - a_\lambda) \geq \gamma_\lambda$，其中$\gamma_\lambda$ 是 $\lambda < \mu$ 的 $v(a_\lambda - a_\gamma)$ 的公共的值；因此假设就是$\bigcap_{\beta \in B} D_K(\beta) = \varnothing$ (§ 5, 习题 5 (a))。令$\Omega$为$K$中的代数闭包，令$v_0$为$v$至$\Omega$中的扩张；表明，如果$P$是$K[X]$中的多项式，则对于所有$\lambda \leq \mu$，存在$A \in B$使得$v(P(a_\mu)) = v(P(a_\lambda))$存在，充分必要且$\Omega$属于中不存在$P$的零 $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta)$。如果$P$有这个性质并且$E$和$w$具有与上面相同的含义，证明对于所有$z \in \bigcap_{\beta \in B} D_E(\beta)$，$w(P(z) - P(a_\mu)) > w(P(z)) = v(P(a_\mu))$只要$\mu$足够大（将$P(X)$分解为因子 $\Omega[X]$）。推断下列情况之一成立：

(1) $\bigcap_{\beta \in B} D_\Omega(\beta) \neq \varnothing$，并且，如果 $\theta$ 是该交的元素，且次数超过 $K$ 的可能性最小，则 $K(\theta)$ 是 $K$ 的直接的扩张，不同于$K$。

使得 $\bigcap_{\mu} D_\alpha(\beta) = \varnothing$；那么$K(X)$的估值$v'$延伸$v$直接的扩张$K$（使用（a）中的标准）。

(e) 从(c)和(d)推出，对于$K$是线性紧的，$K$除了自身之外没有直接的扩张是充分必要的。