习题 3, § 3

令$K$为域，$w$为$K$、$\Gamma$值群对$w$和$k$剩余类域对$w$的估值。我们形式相应的域$S(\Gamma, k)$并保留习题2中的记号。对于所有$t \in k$，让$t^0$在评估中为类$t$中的元素环 / $w$；对于所有$a \in \Gamma$，令$u_a^0$为$K$的元素，使得$w(u_a^0) = a$。

(a) 对于每个有序对$(t, a) \in k \times \Gamma$，令$M$为$S(\Gamma, k)$包含元素$tu_a$中的子集；假设$M$的双射$x \mapsto x^0$存在于$K$的子集$M^0$，并且满足以下条件： (1) 每有序对 $(t, a) \in k \times \Gamma$ $(tu_a)^0 = t^0 u_a^0$； (2) 如果$x = (x_\alpha)$属于到$M$且$C_x$是$a$的$\Gamma$由……组成的良序子集使得$x_\alpha \neq 0$，则对于$C_x$的每个线段$D$ 元素$(x_\lambda)_{\lambda \in D}$属于至$M$； (3) 如果$x, y$是$M$中的两个元素，且$tu_a$是$x - y$的主导项，则$w(x^0 - y^0 - t^0 u_a^0) > w(x^0 - y^0)$。如果$z'$是$K$的元素而不是属于到$M^0$，则表明$S(\Gamma, k)$中存在元素$z \notin M$，使得映射其中重合与$x \mapsto x^0$在M上并且映射$z'$至$z$也满足上述条件。 （注，如果$w(z') = \alpha$，则存在$t^0$使得

写出$z_\alpha = t u_\alpha$，然后通过超限归纳证明可以确定指标$\beta > \alpha$的$z_\beta$，从而使$z = (z_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$求解问题。） (b) 从 (a) 推出 $\mathrm{Card}(K) \leq \mathrm{Card}\ S(\Gamma, k)$。