习题 10, § 4

设$A$为环，其中主理想的集合完全按包含排序。

(a) 证明$A$是局部环，其中零根$\mathfrak{N}$是素理想。证明 $\mathfrak{N}^2 = \mathfrak{N}$ 或 $\mathfrak{N}$ 是幂零的； 环$A/\mathfrak{N}$是估价环。

(b) 如果$\mathscr{L}$是$A$的主理想的全序集，证明$A$的理想的集合是通过包含全序的，并且同构于集合$\mathscr{L}$的*完成*（*集合理论*，章） III, § 1、习题15）。

(c) 假设$\mathfrak{N}^2 = 0$；那么$\mathfrak{N}$可以被认为是模超过估价环$V = A/\mathfrak{N}$；设$K$为$V$分数域和$K$相应的到$V$的估值$v$和$\Gamma$阶群；表明$\Gamma$中存在两个主要的集合$M \subset M'$，使得$\mathfrak{N}$是与$a(M')/a(M)$同构的$V$模（§ 3, no. 4的记号）。

(d) 相反，给定估值环$V$，域为分数$K$和阶群$\Gamma$以及$\Gamma$中的两个主要集合$M \subset M'$，令$Q = a(M')/a(M)$ 和定义乘积加法群 $A = V \times Q$ 乘法设定

证明主理想中$A$集合是完全包含有序的； 有序对 $(0, t)$的集合$\mathfrak{N}$，其中$t \in Q$是$A$的零根，$\mathfrak{N}^2 = 0$和$A/\mathfrak{N}$与$V$同构。

(e) 对于每个素数数$p$，环$A = \mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z}$使得$A$的主理想的集合完全包含有序，并且$A$的零根$\mathfrak{N}$使得$\mathfrak{N}^2 = 0$；但证明环 $A$ 与 (d) 中方法构造的环不同构（从 $V = A/\mathfrak{N}$ 和 $Q = \mathfrak{N}$ 开始）（注 $A$ 包含不与子环同构$\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$）。

(f) 证明对于群 $U_p$ (代数, 章 VII, § 2, 习题 3) 的每个素数数 $p$, 代数 $A$ 相对于素数域 $\mathbf{F}_p$ 是环，其中主要理想形式集合是完全包含有序的，并且零根 $\%$ 满足 $\%^2 = \%$，但 $A$ 与理想估值环的商不同构。