习题 8, § 4

令$A$为维数1（习题7）的局部整环，$K$为分数的域。证明对于高度1的评估环($K$)的$A$是交，$A$是完全积分闭的充分必要。依次证明： (a) $K$ 包含 $A$ 的子环以及 $A$ 的最大理想 $m$ 元素 $\neq 0$ 的倒数等于 $K$（使用$A$ 的每个理想都不同于 0 和$A$ 是 $m$-主要）。 (b) 如果$B \supseteq A$是$K$的子环与$K$不同，则存在高度1的环$V$的估值使得$B \subset V$（使用(a)）。 (c) 令 $z \in K - A$；表明$zm \subset m$ 是不可能像习题 7 (b) 中那样争论的。推断存在高度 1 的估值环 $V$，使得 $A \subset V$ 和 $z \notin V$。 （如果$zm \subset A$，则使用（a）；否则，存在$x \in m$使得

观察$z \notin A[z^{-1}]$并使用(b)证明$V$的存在。）