习题 10, § 5

假设和记号与习题 9 中的相同。

(a) 如果 M 是离散拓扑 A-模，则证明 M 是挠元模。如果进一步 M 是线性紧致的，则证明 M 为阿廷的（如果 N 为自同态 $x \mapsto \pi x$ 的核，观察 N 是线性紧致且离散的，可以视为向量 $(A/\pi A)$-空间；然后使用章的习题 20 (d) II, § 2）。

(b) 从 (a) 推导出每个线性紧拓扑 A-模都是严格线性紧的 (章 II, § 2, 习题 19)。

(c) 拓扑A-模 M 的拓扑 复曲面 对偶是从 M 到 K/A 的连续同态的代数复曲面对偶 $M^*$ 由……组成的子模 $M'$（后者被赋予离散拓扑）。如果M上的拓扑是线性的（章II, § 2，习题14）并且N是M的闭子模，则证明M/N的拓扑复曲面对偶与$N^0 \cap M'$相同，N的拓扑复曲面对偶与$M'/(N^0 \cap M')$相同（至确定N的对偶， 注，对于从N到K/A的每一个连续的同态$u$，都存在M的开子模U，使得$u(x) = 0$在$N \cap U$中，然后使用习题9)。

(d) 对于有限秩的拓扑 A-模 M，拓扑复曲面对偶 M' 等于代数复曲面对偶 M*（约化是模秩 1 的情况）。

(e) 令 M 为 Hausdorff 拓扑 A-模，其拓扑是线性的；表明对于 M 中的所有 $x \neq 0$，存在 $u \in M'$ 使得 $u(x) \neq 0$ （注存在 M 的开子模 U 使得 $x \notin U$）；在其他字中，典范映射 $M \to (M')^*$ 是单射的。推断，如果 N 是 M 的闭子模，$N^0 \cap M'$ 在 $N^0$ 中稠密，其中拓扑 $\sigma(M^*, M)$（使用 (d)），因而 $N = M \cap (N^0 \cap M')^0$ 在 $M^{**}$ 中。

证明 M 在 $(M')^*$ 和拓扑 $\sigma((M')^*, M')$ 中是稠密的。

(f) 令 M 为线性紧拓扑 A-模；表明典范嵌入 $M \to (M')^*$ 是双射并且 M 上的拓扑（用 $(M')^*$ 标识）等于 $\sigma(M, M')$。 （观察到，如果 U 是 M 的开子模，则由 (a) 得出 M/U 为阿廷的，因而 $U^0$ 为诺特 (习题 9 (c))，并推导出 M 上考虑的拓扑的恒等式；在 (e) 的帮助下完成。）

(g) 令M、N为两个拓扑A-模，其拓扑为线性；对于每个连续的同态$u : M \to N$，$^t u(N') \subset M'$和$^t u$也被用来（通过滥用记号）来表示从N'到M'的线性映射，与$^t u$具有相同的图形。如果 M 和 N 是 Hausdorff，则证明 $^t (t u)$ 重合的限制到 M 以及 $u$（M 和 N 分别被视为规范地嵌入到 $(M')^*$ 和 $(N')$ 中；此外，对于 N 的每个子模 Q，

（使用（e））。

(h) 令 M 为线性紧致 A-模；由 (g) 和习题 9 (f) 推导出，要使 M 无扭转，M' 可整除是必要且充分的，并且要使 M 可整除，M' 无扭转也是必要和充分的。