Bourbaki

习题 8, § 5

标签 04V7，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 04V7]。

交换代数, VI, 457

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

(a) 令KK为域，vv为高度1的KK的估值，AA为环。令HH为KK的紧致子集（带有拓扑Tv\mathscr{T}_v）和a≠0a \neq 0点为KK。证明存在一个没有常数项且满足 f(a)=1,f(H)⊂Af(a) = 1, f(H) \subset A 的多项式 f∈K[X]f \in K[X]。 （证明ff可以被视为形式的多项式

1−(1−a−1X)(1−c1−1X)n(1)…(1−cr−1X)n(r) 1 - (1 - a^{-1}X)(1 - c_1^{-1}X)^{n(1)} \ldots (1 - c_r^{-1}X)^{n(r)}
其中cic_i适当地选择元素或HH，使得v(ci)<v(a)v(c_i) < v(a)和n(i)n(i)为足够大整数>0> 0。）

(b) 设XX为完全不连通的紧致空间；令从XX到KK连续映射的环C(X;K)C(X; K)被赋予一致收敛拓扑。设BB为C(X;K)C(X; K)包含常数中的子环，并分离点与XX；表明 BB 在 C(X;K)C(X; K) 中是稠密的（使用 (a) 和一般拓扑、章 X, § 4、习题 21 (b)。）

解答

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