习题 9, § 5

令$A$为离散评估环，$\pi$为$A$的统一器，$K$域为$A$的分数；假设 $A$ 与 $\pi$-adic 拓扑是完整的。 单射的 $A$ 模 (代数, 章 II, § 2, 习题 11) 与可整除的 $A$ 模 (代数, 章 VII, § 2, 习题 3) 相同，并且是$A$模块中的直和同构于$K$或$K/A$（代数、章VII, § 2、习题3）。 此外，每个单生$A$-模都同构于$K/A$的子模。 $A$-模$\mathrm{Hom}_A(M, K/A)$称为$A$-模$M$的（代数）环面对偶，并用$M^*$表示； 典范映射 $c_M : M \to M^{**}$ 是单射 (代数, 章 II, § 2, 习题 13 (b))。 For every submodule $N$ of $M$ the submodule $N^0$ of $M^*$ consisting of the $u$ such that $u(x) = 0$ is called the orthogonal of $N$ in $M^*$; the dual of $M/N$ is canonically identified with $N^0$ and the dual of $N$ with $M^*/N^0$. 直极限 $\varprojlim M_\alpha$ 的复曲面对偶与逆极限 $\varprojlim M_\alpha^*$ 自然同构。

(a) 我们知道秩的 $A$ 模块 (代数, 章 VII, § 4,

Exercise 22) are isomorphic to a module of one of the form A, K, K/A or $A/\pi^n A$. 证明 K 和 $A/\pi^n A$ 的代数复曲面对偶分别同构于 K 和 $A/\pi^n A$，A 的复曲面对偶同构于 K/A，并且 K/A 的复曲面对偶同构于 A（使用有关 K 的子 A 模的知识以及 A 是完备的事实（相对于 K/A 的对偶））。 推出，对于有限秩的每个A-模 M，$M^*$是相同秩的模，并且典范同态$c_M$是双射的。

(b) 令 M 为 A-模且 N 子模 ，其中 M 为有限秩。证明 $M^{**}$ 中 $N^0$ 的正交可通过 N 识别（通过 $c_M$）（使用 (a)）。

(c) 证明 A-模 M 是诺特（分别是阿廷的），是有限秩（将 M 嵌入其单射包络 (代数, 章 II, § 2, 习题 18)）；那么 $M^*$ 是阿廷的（分别是诺特）。

(d) 让$\sigma(M^*, M)$表示M上的逐点收敛的拓扑（在$M^*$上）（K/A被赋予离散拓扑）。证明，如果 N 是 M 的子模，$\sigma(N^0, M/N)$ 由 $\sigma(M^*, M)$ 在 $N^0$ 上诱导，$\sigma(M^*/N^0, N)$ 是拓扑 $\sigma(M^*, M)$ 与 $N^0$ 的商。 （对于第二个点，注，如果P是M的子模，使得$N \subset P$，则P/N的对偶由$N^0/P^0$标识）。如果$M = \lim_{\longrightarrow} M_\alpha$，拓扑$\sigma(M^*, M)$是拓扑$\sigma(M^*_\alpha, M_\alpha)$的逆极限。

(e) 拓扑$\sigma(K, K)$和$\sigma(A, K/A)$是x进拓扑；拓扑$\sigma(A/\pi^n A, A/\pi^n A)$和$\sigma(K/A, A)$是离散拓扑。推断对于每个 A-模 M，模 $M^*$ 与 $\sigma(M^*, M)$ 是线性紧致的（章 III, § 2，习题 15；将 M 视为商模的自由A-模）。

(f) 令M、N为两个A-模；对于每个同态$u : M \to N$，让$^t u$表示从$N^*$到$M^*$的同态$\mathrm{Hom}(u, 1_{K/A})$，这样

对于所有 $x \in M$ 和所有 $w \in N^*$；证明$^t u$对于拓扑$\sigma(N^*, N)$和$\sigma(M^*, M)$是连续的。如果$u$是M的自同态$x \mapsto \pi x$，则$^t u$是$M^*$的自同态$w \mapsto \pi w$。对于 M 的每子模 P，$(u(P))^0 = ^t u(P^0)$。