习题 12, § 8

令 K 为域，$v$ 右 K 的估值，A 环的估值$v$ 以及$\Gamma$ 阶群。

(a) 令$f(X) = a_0 X^n + a_1 X^{n-1} + \ldots + a_n$为$A[X]$的多项式，使得$v(a_0) = 0$，所有根属于到K；令$x_i$($1 \leq i \leq r$)为这些不同的根，并令$k_i$为$x_i$($1 \leq i \leq r$)重数阶。让

$\mathbf{A}[X]$ 中的另一个多项式，使得 $v(b_0) = 0$ 和 $y_i$ 属于到 K。证明存在 $\lambda_0 \in \Gamma$，使得 $v(x_i - x_j) < \lambda_0$ 对于不同指标 $i, j$ 的每个有序对且对于所有$A \geq A_n$，存在$\mu \geq \lambda$使得关系$v(a_i - b_i) \geq \mu$对于所有$i$意味着，对于$1 \leq i \leq r$，恰好存在$k_i$指标$h$使得$v(x_i - y_h) \geq A$。 （首先以两种方式评估$v(f(y_h))$，以表明对于至少一个$i$必然有$v(x_i - y_h) \geq \lambda$；然后评估

在合适的点$z \in K$。）如果进一步$b_i = a_i$除了$i = n - 1$之外，证明只要$\lambda_0$是足够大，$y_h$都是不同的（假设$y_h$不是一个简单的矩阵，则评估$f'(y_h)/f(y_h)$） 根 / $g$）。

(b) 假设此后 K 是子域 $K_0$ 中的代数闭包，使得 $A_n = A \cap K_0$ 是 Henselian。假设多项式 $f$ 属于到 $A_0[X]$ 并且在 $K_0$ 上*不可约且可分*。让$z \in K$这样

对于所有 $j \neq i$；然后证明$K_0(x_i) \subset K_0(z)$。 （证明 $z - x_i$ 等于其相对于 $K_0(x_i)$ 的所有共轭。）

(c) 假设 $f \in A_0[X]$ 是*可分离的*，并让 $f = a_0 \prod_{i=1}^r f_i$ 分解变成 $K_0[X]$ 中的单调不可约多项式（其中属于事实上到 $A_0[X]$、cf. 章 V, § 1, no. 3、命题 11）。 证明（在（a）的记号中），如果将g的足够大、分解取$\mu$转化为$K_0[X]$中的莫尼克不可约因子可以写成$b_0 \prod_{i=1}^r g_i$，其中，对于所有$i$，$g_i$是相同的次数与$f_i$（分解据说与$f$“具有相同的型”）以及$f_i$和$g_i$的进一步分裂域对于所有$i$来说都是相同的。 （首先证明 g 是可分离的；然后考虑 $f$ 的 $K_0$ 包含根和 g 的有限伽罗瓦扩张，并考虑这个扩张的伽罗瓦群排列这些根的方式；最后使用 (b)。）

(d) 给出例，其中$f$是不可约但不可分的，并且对于所有$\mu \geq A_n$，存在一个多项式

其中$v(a_i - b_i) \geq \mu$对于所有$i$，这不是不可约的（取$K_0$使得$K \neq K_0$和K是$K_0$的根扩张）。