习题 14, § 8

(a) 为了使域$K$成为具有$v$估价的Henselian，$K$是最大的包含在$\hat{K}$中的$K$的可分离代数扩张并且$\hat{K}$是Henselian，这是充分必要的。 （要证明条件是必要的，请使用习题 12 (b)；要证明它是充分的，请观察到，为了验证章 III, § 4、习题 3 的条件 (H)，我们可以将注意力集中在$P$ 可分离的情况$K$，注意到，如果$Q$是$\hat{K}[X]$中$P$的不可约因子，使得$Q^{p^e}$属于到$K[X]$，则$Q$是$P$的g.c.d。 $\hat{K}[X]$中的$Q^{p^e}$。）考虑$v$高度为1的情况（cf.习题6（b））。

(b) 从 (a) 推导出$p$-adic 域 $\mathbf{Q}$ 中存在可数子域，它是具有 $p$-adic 估值的 Henselian。

(c) 给出域 $K$ 的例，它是具有不完整离散估值的 Henselian，并且使得 $\hat{K}$ 是 $K$ 的有限基数扩张 (cf. 章 V, § 1， 习题20)。