习题 16, § 1

令 $A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n$ 为分级克鲁尔域。令$D_g(A)$（或$F_g(A)$）表示由分级积分除数理想的除子生成的群（分别由除子$\operatorname{div}(a)$生成，其中$a$在A中是齐次的）；写$C_g(A) = D_g(A)/F_g(A)$。令 S 为 A 的齐次元素 $\neq 0$ 的乘法子集。

(a) 证明满足 S 的高度为 1 的 A 的每个素理想都是分级的（使用章 III, § 1, no. 4、命题 5）。

(b)设$B = S^{-1}A$，这是分级的环(章II, § 2, no. 9)；写$B = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} B_n$；证明$B_0$是域，并且如果$A \neq A_n$，B同构于有理函数$P(X)/X^k$的环$B_0[X, X^{-1}]$，其中$P(X) \in B_0[X]$。

(c) 证明$C_g(A)$和$C(A)$是正则同构的（使用no. 10的(a)、(b)和方程(5)）。